Question

为什么这道二重积分选择这么做不一样？

直接计算是奇函数对称区间不是为0吗？求解谢谢

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Answer 1

新的解题思路：
首先画出所给区域D的图形：
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x轴
由于积分区域对称，所以可以只考虑右半部分的面积。
计算积分：
$I = 2\int_0^2\int_{-\sqrt{y+4}}^{\sqrt{y+4}}(kx+y)dxdy = \frac{16}{3}k + \frac{16}{3}$
因为 $y=x^2-4$，所以 $y\geq-4$。
当 $k=0$ 时，$I=\frac{16}{3}\cdot0+\frac{16}{3}=\frac{16}{3}>0$。
当 $k<0$ 时，被积函数在积分区域上方，所以积分值为负数。
当 $k>0$ 时，被积函数在积分区域下方，所以积分值为正数。
综上，只有选项I＜0是正确的。
首先，由于D是一个平面区域，可以考虑将I的计算转化为二重积分的形式，即：
I = ∫∫D (kx+y) dxdy
接下来，我们需要确定D的边界，可以通过将y=x²-4和y=0联立得到x=±2，因此D的边界是x=-2和x=2。
考虑积分区域内的y值范围，由y=x²-4和y=0可知，对于任意的x∈[-2,2]，y的范围是[0, x²-4]。
将I表示成二重积分的形式后，可以按照积分的顺序和范围进行积分。首先对y进行积分：
I = ∫[-2,2] ∫[0,x²-4] (kx+y) dy dx
对y进行积分后，得到：
I = ∫[-2,2] [ 1/2(kx+y)² ]y=x²-4 y=0 dx
对x进行积分，得到：
I = ∫[-2,2] [1/3 kx³ - 2kx² - 4kx] dx
化简后得：
I = [1/12 kx⁴ - 2/3 kx³ - 2kx²] x=-2 x=2
将x=2和x=-2代入上式，得到：
I = (32/3 - 32/3)k = 0
选A是错的？

Answer 2

1)I=kr drdy +∫[2-4] r drdy=(kr +2-4)drdy(2)I=∫[2-4] (kr +y)drdy=kr drdy +∫[2-4] ry drdy答案：因为第一个积分是从零到2-4，而第二个积分是从2-4到零，所以需要在第一个积分中包括2-4的r和y，以及在第二个积分中包括y的ry，以获得最终的结果。