Question

一道高中物理竞赛题！物理高手进！！

两个质量分布均匀的球，半径为r，重为P，置于两端开口的圆筒内，圆筒半径为R（r<R<2r），并竖直放在水平面上（如图），设所有的接触面都光滑，为使圆筒不至于倾倒，圆筒的最小重量Q为多少？
我知道答案是2P(R-r)/R ，求过程

Answer 1

设两个球心的连线与水平方向夹角是θ，
则　cosθ＝（R－r）/ r
将两个球作为整体，容易知圆筒两侧受的压力大小相等，设此压力大小是N
对上方的球O2分析：受重力P、O1球对它的弹力F（沿两个球心连线斜向上）、圆筒侧面对它的弹力N（水平向左），合力为0
得　P / N＝tanθ
N＝P / tanθ

当圆筒将要倒的时候，地面对圆筒的支持力的作用点在它的右侧下端，对圆筒应用平衡条件：合力矩为0
得　N*r＋Q*（R / 2）＝N*（r＋2 r *sinθ）　（以圆筒右下端为轴）
式中 Q 是圆筒不倒的最小重力。
得　Q＝(4 r *sinθ / R)*N＝4 P*r *cosθ / R＝4 P*r *[（R－r）/ r] / R＝4 P *（R－r） / R

追问

答案不对……是2P(R-r)/R

追答

哦，不好意思，我看到我的式子中一个地方弄错了。
应是　N*r＋Q*R ＝N*（r＋2 r *sinθ）　（以圆筒右下端为轴）
将　N＝P / tanθ　，cosθ＝（R－r）/ r　代入上式
得　Q＝2 P *（R－r） / R

注：对不起，我原来把R当成圆筒直径了，现改过来，不知晚否？
圆筒受左侧水平向左压力（大小等于N）、右侧水平向右压力（大小等于N）、重力Q（在圆筒中间）。

Answer 2

设两个球心的连线与水平方向夹角是θ，
则　cosθ＝（R－r）/ r
以圆筒为研究对象，则圆筒应该受重力Q，两球的弹力F1=F2，圆筒转动时支持力作用于基点上。
以圆筒右侧为基点，根据力矩平衡则有：
2rsinθ× P / tanθ≒Q× R
然后就得到答案2P(R-r)/R了

Answer 3

Q=2P(R-r)/R