Question

高中数学问题求助。

三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称为三角形的欧拉线。已知三角形ABC的顶点是A(2,0)，B(0,4)，三角形的欧拉线方程是x-y+2=0,则顶点C的坐标是多少？
帮忙写出过程

Answer 1

问题的关键在于外心和重心在这条欧拉线上
AB的中垂线与欧拉线相交得出外心，根据外心到三个顶点的距离相等、重心横纵坐标为三个顶点的横纵坐标的平均值得到关于顶点C的坐标的方程，解出即可

具体过程：
欧拉线方程x-y+2=0　　　　……①
AB的中垂线方程：y=1/2(x-1)+2 即x-2y+3=0　　　　……②
联立①②得x= -1 y= 1
所以（-1，1）为三角形ABC的外心，记为D
由DC=DA得
(x+1)^2+(y-1)^2=3^2+1^2　　　　……③
由重心在欧拉线上可得
(x+2+0)/3-(y+0+4)/3+2=0　　　　……④
联立③④得
X1=0 Y1=4 (就是B点，舍去)
X2= -4 Y2=0
故C点的坐标为（-4 ，0）