Question

（线性代数题）证明向量组A:a1,a2,...an 与向量组B：b1,b2,.....bn等阶

设，b1=a2+a3+...+an,b2=a1+a3+...+an,......bn=a1+a2+...+a(n-1)
是等价，打错了.......

Answer 1

结论：如果两个向量组可以互相线性表示，则这两个向量组等价（不是等阶）。

由已知，B可由A线性表示；
同时，b1+b2+...+bn=(n-1)(a1+a2+...+an)，
因此，a1+a2+.....+an=(b1+b2+....+bn)/(n-1)，
将 b1、b2、......、bn 的表达式分别代入可得
a1+b1=a2+b2=......=an+bn=(b1+b2+....+bn)/(n-1)，
即 a1=(b1+b2+....+bn)/(n-1)-b1，a2=(b1+b2+.....+bn)/(n-1)-b2，。。。。，an=(b1+b2+....+bn)/(n-1)-bn。
上式说明，A能由B线性表示。
所以 A、B 等价。

Answer 2

知识点: 向量组a1,...,as 可由向量组b1,...,bt 线性表示的充分必要条件是存在矩阵K满足
(a1,...,as )=(b1,...,bt )K.

证明:
因为 (b1,b2,.....bn)=(a1,a2,...an)K
其中 K =
0 1 1 ... 1
1 0 1 ... 1
1 1 0 ... 1
... ...
1 1 1 ... 0
即B组可由A组线性表示

由于 |K| = (n-1) (-1)^(n-1) ≠ 0
所以 K 可逆.
所以 (b1,b2,.....bn) K^-1 =(a1,a2,...an)
所以 A组可由B组线性表示.
所以 两个向量组等价.

追问

可不可以给我讲一下， |K|的求法呢？

追答

第1步: 所有列加到第1列

第2步: 第1行乘 -1 加到其余各行

此时化为上三角行列式.

Answer 3

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