Question

高中数学导数和函数

已知f（x）=ax^3+bx^2+cx+d(a不等于0）是定义在R上的函数，其图像交x轴于ABC三点，若B的坐标为（2，0），且f（x)在[-1,0]和[4,5]上具有相同的单调性，在[2,0]和[4,5]上具有相反的单调性，求AC长度的取值范围

我算的答案是（3，4√3），不知道对不对

Answer 1

由题意可知此三次曲线有三段不同的单调区间,即f'(x)=3ax^2+2bx+c=0有两实根x1, x2
x1<x2,
且x1=0, 2=<x2<=4
c=0, f'(x)=x(3ax+2b), x2=-2b/(3a)=-2m/3,
m=b/a, 2=<-2m/3<=4, -6=<m<=-3
f(x)=ax^3+bx^2+d
由根与系数的关系,设另两根(即A,C的横坐标)为t1,t2
t1+t2+2=-b/a-->t1+t2=-b/a-2=-m-2
t1t2+2t1+2t2=0, t1t2=-2(-b/a-2)=2b/a+4=2m+4
AC的距离为L,有L^2=(t1-t2)^2=(t1+t2)^2-4t1t2=(m+2)^2-4(2m+4)=m^2-4m-12=(m-2)^2-16
m=-6, Max L^2=48, Lmax=4√3
m=-3, Min L^2=9, Lmin=3
因此AC的范围是 [3, 4√3]

Answer 2

[2,0]是什么区间？