Question

数学初三二次函数问题

抛物线y= - (x的平方）- 2x + 3与 y轴 交与点 c，与 x轴 交与点 A（1,0）B（-3，0）
问：在该抛物线的对称轴上是否存在一点 Q，使得三角形 QAC 的 周长 最小，若存在，求Q的坐标，若不存在，说明理由
该抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使三角形PBC面积最大？，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由

急！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

C(0,3)，
对称轴X=-1
作出图形，由于B点即为A关于对称轴的对称点
周长最小的Q点即为BC与对称轴的交点：
BC的截距式：x/(-3)+y/3=1,
当x=-1, y=2, 因此Q(-1,2)

面积最大的点：
因为BC固定，因此其上的高最大时PBC最大。
将BC平移至与曲线相切时，切点即为P
y'=-2x-2
BC的斜率为1
因此-2x-2=1, 得x=-1.5, y=3.75
因此P(-1.5,3.7.5)

追问

“与曲线相切时”什么意思

追答

啊,切线的概念没学过?

Answer 2

1.y=-x²-2x+3=-(x+3)(x-1),代入x=0得到
抛物线与y轴交于C(0,3)
对称轴是x=-1，
由于A和B关于x=-1对称，连结BC交对称轴于Q，所以AQ=BQ
此时周长L最小，L=QA+QC+AC=BC+AC（定值）
直线BC方程是y=x+3，所以Q(-1,2)
2.设存在P(x,y),那么
点P到直线BC：y=x+3的距离是
d=|x-y+3|/√2.....................①
且满足y=-x²-2x+3.............②
②代入①得到d=|x²+3x|/√2
∵x²+3x=(x+3/2)²-9/4在第二象限的取值范围是-9/4≤x²+3x<0
∴d≤|-9/4|/√2=9√2/8
此时x=-3/2,y=15/4
即P(-3/2,15/4)满足题意

追问

你第二题说得好深奥，可以说说简单一点的方法吗

追答

我觉得这个还好吧， 你只要知道“点到直线的距离公式”就行了——
点(m,n)到直线ax+by+c=0的距离是
d=|am+bn+c|/√(a²+b²)
这个知道了就算出来了啊 还有疑问吗

追问

d=|am+bn+c|/√(a²+b²)
这个没教过，可以用底乘高的一半的公式讲解吗

追答

。。。可以用吧 要用底乘高的一半就必须用到这个公式啊！
换个方法吧
设l是平行与BC的一条直线那么l：y=x+k
当l与抛物线相切（即直线与抛物线只有一个公共点）的时候面积最大，
联立y=-x²-2x+3和y=x+k,
得到x²+3x+k-3=0.................................①
由相切得到只有一个解，所以
判别式Δ=3²-4(k-3)=21-4k=0
从而k=21/4,
①变成x²+3x+9/4=0
解得x=-3/2,代入l方程
所以P(-3/2，15/4)

Answer 3

本题中的两问都是二次函数中常见的问题,难易适中,解答如下:

【1】考查知识点: 轴对称图形的性质和线段的性质.

分析:点A为(1,0),点C为(0,3)故AC的长度是不变的,故只要能使AQ+CQ最小即可!

解:抛物线y= -x²-2x+3的对称轴为直线x=-1.

点A关于对称轴X=1的对称点为点B,连接BC交对称轴于Q,则点Q就是要求的点.

设直线BC为y=kx+b,图象过点C(0,3),B(-3,0),则:

3=b;

0=-3k+b=-3k+3,k=1.即直线BC为:y=x+3.

把X=-1代入y=x+3,得:y=-1+3=2.故点Q为(-1, 2).

【2】考查知识点:二次函数的最值及图形的面积公式.

解:设抛物线y=-x²-2x+3第二象限内图象上有点P(m,-m²-2m+3),则m<0,-m²-2m+3>0.

连接PB,作PM垂直Y轴于H,则OH=-m²-2m+3;CH=OH-OC=-m²-2m;PH=|m|=-m.

∵S⊿PBC=S梯形PBOH-S⊿PHC-S⊿BOC.

即S⊿PBC=(PH+BO)*OH/2-PH*CH/2-BO*OC/2

                =(-m+3)*(-m²-2m+3)/2-(-m)*(-m²-2m)/2-3*3/2

                =(-3/2)m²-(9/2)m

                =(-3/2)(m+3/2)²+27/8.

∴当m=-3/2时,-m²-2m+3=-9/4+3+3=15/4.

即当点P为(-3/2, 15/4)时,⊿PBC的面积最大,最大值为27/8.

Answer 4

（1）存在。
作出图来，点C的坐标为（0，3）。
要使三角形QAC的周长最小，因为AC已确定（A，C两点已确定），所以只需使AQ+CQ最小。
取点A关于抛物线对称轴（直线x=-1）的对称点{即为点B（-3，0）}，连结BC，交直线x=-1于一点，即为点Q，此时AQ=BQ，而BQ+CQ=BC最短，所以此时AQ+CQ最小。
这时求直线BC的解析式，为y=x+3，令x=-1，求出Q点坐标为（-1，2）。
（2）存在。
因为三角形的面积等于其水平宽和铅垂高的乘积的一半，所以可得三角形PBC的水平宽为3，其铅垂高即等于点P到x轴的垂线段的长度与这条垂线段与直线BC的交点（设为点R）到x轴的距离的差。设点P的横坐标为x，将其代入抛物线y=-x^2-2x+3和直线y=x+1，得到三角形PBC中BC边上的铅垂高的长度（设为h）为（-x^2-2x+3）-（x+1），即-x^2-3x+2。
求二次函数h=-x^2-3x+2的顶点坐标，为（-1.5，4.25），所以当x=-1.5时，h取得最小值，为4.25。
即存在这样一点P，点P的坐标为（-1.5，4.25）。

追问

我不知道什么是水平宽和铅垂高，是不是底和高？我们没教过三角形面积等于水平宽乘以铅垂高的一半啊，可以用底乘高的一半的公式给我讲解吗，谢谢了，求求你

Answer 5

（1）存在。
作出图来，点C的坐标为（0，3）。
要使三角形QAC的周长最小，因为AC已确定（A，C两点已确定），所以只需使AQ+CQ最小。
取点A关于抛物线对称轴（直线x=-1）的对称点{即为点B（-3，0）}，连结BC，交直线x=-1于一点，即为点Q，此时AQ=BQ，而BQ+CQ=BC最短，所以此时AQ+CQ最小。
这时求直线BC的解析式，为y=x+3，令x=-1，求出Q点坐标为（-1，2）。
（2）存在。
因为三角形的面积等于其水平宽和铅垂高的乘积的一半，所以可得三角形PBC的水平宽为3，其铅垂高即等于点P到x轴的垂线段的长度与这条垂线段与直线BC的交点（设为点R）到x轴的距离的差。设点P的横坐标为x，将其代入抛物线y=-x^2-2x+3和直线y=x+1，得到三角形PBC中BC边上的铅垂高的长度（设为h）为（-x^2-2x+3）-（x+1），即-x^2-3x+2。
求二次函数h=-x^2-3x+2的顶点坐标，为（-1.5，4.25），所以当x=-1.5时，h取得最小值，为4.25。
即存在这样一点P，点P的坐标为（-1.5，4.25）。

所用的知识点是：过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC= ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

Answer 6

（1）-b/2a=-1即对称轴为X=-1 连接BC交与点Q 连接QC,QA即组成三角形QAC.
此时三角形QAC最小。
用相似有关性质求出点Q
(2)
用点到直线距离公式来做