Question

已知F1,F2分别是椭圆x^2/a^2+Y^2/b^2=1的左右两个焦点,点p(2,-根号5/5）在该椭圆上线段PF1与y轴交点N，

满足向量ON=1/2（向量OP+向量OF1）
(1)求该椭圆的方程（2）过F2做直线l交该椭圆于A,B两点，若OA⊥OB，求该直线l的方程

Answer 1

第1问：
因为 “向量ON=1/2（向量OP+向量OF1）”
所以 F2(2,0)
所以c=2
因为 P在椭圆上
所以 |PF1|+|PF2|=2a
解得：a=√5
所以 b=1
所以 椭圆方程为：(x^2)/5+y^2=1

第二问：
经验证，当l竖直时，OA与OB不垂直
设l:y=k(x-2)，A(x1,y1),B(x2,y2)
联立椭圆与直线l的方程, 消y得：
(5k^2+1)x^2-20k^2·x+20k^2-5=0
因为 直线l过点F2，点F2在椭圆内部
所以 直线l与椭圆一定有两个不同的交点
所以 由韦达定理得：
x1+x2=20k^2/(5k^2+1)
x1x2=(20k^2-5)/(5k^2+1)
因为OA⊥OB
所以 数量积OA·OB=0
即x1x2+y1y2=0
而y1y2=k^2(x1-2)(x2-2)=k^2[x1x2-(x1+x2)+4]
所以 x1x2+y1y2=x1x2+k^2[x1x2-(x1+x2)+4]=0
解得：k=±√(5/19)=±√95/19
所以 直线l的方程为：y=(√95/19)(x-2)或y=-(√95/19)(x-2)