Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1.在区间【-1,1】上yf（x)的图象恒在

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1.在区间【-1,1】上yf（x)的图象恒在y=2x+m的图像上方，试确定实数m的范围。

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c，f(0)=c=1，则f(x)=ax^2+bx+1
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+1=ax^2+(2a+b)x+a+b+1
f(x+1)-f(x)=2ax+a+b，则2a=1，a+b=0，a=1，b=-1。f(x)=x^2-x+1
在区间[-1,1]上，有x^2-x+1>2x+m，m<x^2-3x+1。
x^2-3x+1在区间[-1,1]上的最小值是1-3+1=-1。
所以m<-1。