能说任何两个有理数之间都有无理数吗?为什么?

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动植物世界
高粉答主

2021-10-18 · 原创动物解说创作者(原创、原创、原创) 每天都趴网看各位的评...
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确实是这样的,数轴上,任何两个有理数间,都有无理数的存在。假设有两个有理数x1,x2,x1 < x2。

有理数集与整数集的一个重要区别是,有理数集是稠密的,而整数集是密集的。将有理数依大小顺序排定后,任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数,这就是稠密性。整数集没有这一特性,两个相邻的整数之间就没有其他的整数了。

有理数集是整数集的扩张。在有理数集内,加法、减法、乘法、除法(除数不为零)4种运算通行无阻。

有理数a,b的大小顺序的规定:如果a-b是正有理数,则称当a大于b或b小于a,记作a>b或b<a。任何两个不相等的有理数都可以比较大小。

有理数是实数的紧密子集:每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是,仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列,有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的(稠密)子集,因此它同时具有一个子空间拓扑。 

heptnaol
2016-07-03 · TA获得超过7261个赞
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确实是这样的,数轴上,任何两个有理数间,都有无理数的存在。
假设有两个有理数x1,x2,x1 < x2
随便取一个无理数,比如π,再取一个正有理数M,不断放大M,
总能找到M,使得π/M<(x2 - x1)
这样,x1 + π/M,就是你要找的两个有理数之间的无理数,之一。
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oxilys
2022-06-16 · TA获得超过527个赞
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不能,这个问题是数学缺陷的表现之一。证明成立的方式有很多,但是无法通过0.9999……=1的悖论。所以高等数学又提出了一个极限的概念来打补丁。但是客观上,0.99……和1确实是两个不同的有理数,并且二者之间确实不会再有其他的无理数。
所以,真实世界中任何两个有理数之间都有无理数是不成立的,在基于极限概念允许一定误差的前提下,可以认为是成立的。
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