Question

f(x)是定义在R上的函数，满足f(x+2)=﹣f(x),x∈[0,2]时，f(x)=2x-x^2

1)x∈[-2,0]时，求f(x)的表达式
2)求f(1)+f(2)+...+f(2006)的值

Answer 1

第一问可使用转化法 由x∈[-2,0]既有(x+2)∈[0,2] 由x∈[0,2]时，f(x)=2x-x^2既有f(x+2)=2(x+2)-(x+2)^2=-x*(x+2) 再由f(x+2)=﹣f(x),既得﹣f(x)=-x*(x+2)既有f(x)=x*(x+2) 第2问要用到辗转代入求出周期 既有f(x+2)=﹣f(x)用x+2替换原题中的x 既有f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)即此函数周期为4之后2006/4的501余2 由f(x+2)=﹣f(x)变形为f(x+2)+f(x)=0求和公式 即有501个f(1)+f(2)+f(3)+f(4)组最后又余f(1)+f(2) 有所求的求和公式的f(1)+f(3)=0 f(2)+f(4)=0 所以刚才的501个f(1)+f(2)+f(3)+f(4)组合为0 只用计算f(1)+f(2)=1