Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD, PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.

求V B-EFD(即B-EFD的体积)

Answer 1

如图1：假设正方形ABCD的边长是1，

可算出 PF=1/3×√3

如图2：已知△PDB是直角三角形（PD垂直于平面ABCD上的

任何直线，PD⊥DB）

过D点做斜边PB的垂直线，假设交点是K，那么可得：

PK:PD=PD:PB --> PK=1/3×√3

∴点K与点F重合，∴DF⊥PB

加上已知 EF⊥PB，可知 PB⊥平面DEF，可算出DF=1/3×√6

EF=1/6×√6 ；DE=1/2×√2 ，DF²=EF²+DE² ，∴△DEF是直角三角形

S△DEF=1/2×EF×DE=1/2×1/6×√6×1/2×√2=1/12×√3

BF是面DEF的高=2/3×√3

V:B-EFD的体积=1/3×△EFD的面积×面EFD的高=1/3×1/12×√3×2/3×√3=1/18cm³