如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
（Ⅲ）求DB与平面DEF所成角的大小． 展开
十几年了，最近突然开始回顾学生时代，只有这立体几何还记得，呵呵。
（1）求证：EF⊥CD；
∵ABCD为矩形
∴CD⊥AD
又∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥CD
∴CD⊥平面PAD，CD⊥PA
∵E、F均为中点
∴EF∥PA
∴EF⊥CD
（2）设G为AD的中点，连接GF，则GF⊥平面PCB
证明：
∵PD=DC，ABCD为正方形
设正方形边长为a
∴PA=√2a
设H为BC中点，连接GH，FH；设O为GH中点，连接FO，EO
∵AB⊥BC，E，O，G，H为中点
∴EO∥BC，GH∥AB
∴EO⊥GH
又∵PD⊥BC，BC⊥CD
∴BC⊥平面PCD，有BC⊥PC
∵FH∥PC，BC⊥AB，GH∥AB
∴BC⊥平面FGH，BC⊥GF①
∵FO∥PD
∴FO⊥GH，FO=EO=a/2
∴△FGH为等腰三角形
∴GF=FH=PC/2=√2a/2
∵GH=a
∴△FGH为等腰RT△
∴FG⊥FH②
∴FG⊥平面PCB
（3）因为作辅助线很困难，不清楚该如何才能作出DB与平面DEF所成角，因此使用"等体积法"。
设B到平面DEF的距离为h，BD与平面DEF所成角为α，则sinα=h/BD，BD=√2a
三棱锥F-BED就是三棱锥B-DEF，设体积为V
∵FO∥PD
∴FO为三棱锥F-BED的高，FO=PD/2=a/2
∵ABCD为正方形，E为AB的中点
∴S△BED=S正方形/4=a²/4
∴3V=S△BED×FO=a³/8
∵EF=PA/2=√2a/2，DE=√5a/2，DF=√3a/2
∴EF²+DF²=DE²，即△DEF为RT△
∴S△DEF=EF×FD/2=√6a²/8
∴3V=S△DEF×h=a³/8，解得h=√6a/6
∴sinα=h/BD=√3/6
∴α=arcsin(√3/6) (≈16.78°)
此外，根据此题容易建立坐标系的特点，可用向量法求解，以D为原点，DA为x，DC为y，DP为z建立坐标系。
连接FO、EO
在△PDB中，F是PB的中点、O为BD的中点
则OF//PD
∵ PD⊥底面ABCD
∴ OF⊥底面ABCD
∵ E是AB的中点，底面ABCD为正方形
∴EF//BC EF⊥CD
CD⊥由EF、OF组成的平面OEF
EF⊥CD
(2)
明天继续做
好...............！！
