Question

已知函数f(x)=x²+ax+b(a、b∈R),g(x)=2x²-4x-16

（1）若f(x)的绝对值小于等于g(x)的绝对值对于x属于R恒成立，求a、b;

(2)在(1)的条件下，若对一切x大于2，均有f（x)大于等于（m+2)x-m-15成立，求实数m的取值范围

Answer 1

1.g(x)=2(x-1)²-18,f(x)=(x+a/2)²+b-a²/4；
g(x)为开口向上的二次函数，f(x)也为开口向上的二次函数。
由f(x)的绝对值小于等于g(x)的绝对值对于x属于R恒成立可知：
分为g(x)≥f(x)≥0,g(x)≤f(x)≤0.两段，
当x=4或x=-2时，g(x)=f(x).同时-18＜b-a²/4<0.
可得a=-2，b=-8
2.x>2,h(x)=f(x)-（m+2)x+m+15≥0
h(x)=x²-（m+4)x+（m+7)
h(x)=(x-(m+4)/2)²-((m+4)/2)²-(m+7);
x>2,2种情况：x≤(m+4)/2，则-((m+4)/2)²+(m+7)＞0
x为2到正无穷，故此情况不存在
x＞(m+4)/2，m<0,
4-2(m+4)+m+7=3-m＞0,m<3
故m<0.