Question

高中数学。若不等式t/（t²+2）≤a≤（t+2）/t²，在t∈﹙0,2]上恒成立，则a的取值范围是？求详解

Answer 1

令f(t)=t/(t²+2)，g(t)=(t+2)/t²，t∈﹙0,2]
则不等式 f(t)≤a≤g(t)，在t∈﹙0,2]上恒成立，等价于
[f(t)]max≤a≤[g(t)]min，t∈﹙0,2]
因为f(t)=t/(t²+2)=1/(t+2/t)≤1/[2√(t•2/t)]=1/(2√2)=√2/4，
所以，当且仅当 t=2/t，即t=√2时，f(t)有最大值为√2/4；
又 g(t)=(t+2)/t²=1/t+2/t² 在t∈﹙0,2]是减函数，从而最小值为g(2)=1
所以 √2/4≤a≤1
a的取值范围是[√2/4，1]

追问

为什么g(t)=(t+2)/t²=1/t+2/t² 在t∈﹙0,2]是减函数?

追答

三种方法。
(1)直接观察。由于g(t)=1/t+2/t²中，t是正数且在分母上，所以t越大，g(t)越小。
(2)用单调性定义。有点麻烦。
(3)求导。g'(x)=-1/t² -4/t³<0，从而 g(x)是减函数。

Answer 2

你好
这个题目可以先分别求出t/(t²+2)和(t+2)/t²的范围，再求出a的范围
先求t/(t²+2)的范围，t/(t²+2)=1/(t+2/t)而t∈﹙0,2],则t+2/t∈[2√2，+∞）
则t/(t²＋2﹚∈(0,√2/4]
再求(t+2)/t²的范围，由于1/t∈[1/2,+∞)则(t+2)/t²=1/t+2/t²∈[1,+∞)
由于a在t∈﹙0,2]上恒成立，则a∈[√2/4,1]