Question

设函数f(x)=log0.5(sinx-cosx) . 1求函数的定义域和值域、单调区间 详细过程！ ！！！！！

Answer 1

由sinx-cosx=√2sin(x-π/4)>0
得2kπ<x-π/4<(2k+1)π
即2kπ+π/4<x<2kπ+5π/4
所以，定义域是(2kπ+π/4，2kπ+5π/4)，k∈Z，
因为0<√2sin(x-π/4)≤√2
所以log0.5(sinx-cosx)≥log0.5(√2)=-1/2
所以值域是[1/2，+∞)。
当2kπ<x-π/4≤2kπ+π/2，即2kπ+π/4<x≤2kπ+3π/4（k∈Z）时，u=√2sin(x-π/4)单增，
当2kπ+π/2≤x-π/4<(2k+1)π，即2kπ+3π/4≤x<2kπ+5π/4（k∈Z）时，u=√2sin(x-π/4)单减，
又f(u)=log0.5(u)是减函数，
所以f(x)=log0.5(sinx-cosx)的单调递增区间是[2kπ+3π/4，2kπ+5π/4)，(k∈Z)，
单调递减区间是(2kπ+π/4，2kπ+3π/4]，(k∈Z)。