Question

三角形ABC中内角A,B,C的对边分辨为a,b,c,向量m=（2sinB，负根号3），向量n=（cos2B,2cos^2B/2-1）且m//n。

1。求锐角B的大小；2.如果b=2,求三角形ABC的面积的最大值

Answer 1

第一个问题：
∵向量m＝（2sinB，－√3）、向量n＝（cos2B，2［cos（B/2）］^2－1）、向量m∥向量n，
∴2sinB｛2［cos（B/2）］^2－1｝＋√3cos2B＝0，　∴2sinBcosB＋√3cos2B＝0，
∴sin2B＋√3cos2B＝0，　∴（1/2）sin2B＋（√3/2）cos2B＝0，
∴sin30°sin2B＋cos30°cos2B＝0，　∴cos（2B－30°）＝0。

∵B为锐角，∴0°＜B＜90°，∴0°＜2B＜180°，∴－30°＜2B－30°＜150°，
∴由cos（2B－30°）＝0，得：2B－30°＝90°，　∴2B＝120°，　∴B＝60°。

第二个问题：
∵B＝60°，　∴sinB＝√3/2、cosB＝1/2。
由余弦定理，有：b^2＝a^2＋c^2－2accosB，∴4＝a^2＋c^2－ac≧2ac－ac＝ac，
∴△ABC的面积＝（1/2）acsinB≦（1/2）×4×（√3/2）＝√3。
∴满足条件的△ABC的面积最大值是√3。

Answer 2

第一个问题：
∵向量m＝（2sinB，－√3）、向量n＝（cos2B，2［cos（B/2）］^2－1）、向量m∥向量n，
∴2sinB｛2［cos（B/2）］^2－1｝＋√3cos2B＝0，　∴2sinBcosB＋√3cos2B＝0，
∴sin2B＋√3cos2B＝0，　∴（1/2）sin2B＋（√3/2）cos2B＝0，
∴sin30°sin2B＋cos30°cos2B＝0，　∴cos（2B－30°）＝0。

∵B为锐角，∴0°＜B＜90°，∴0°＜2B＜180°，∴－30°＜2B－30°＜150°，
∴由cos（2B－30°）＝0，得：2B－30°＝90°，　∴2B＝120°，　∴B＝60°。
第二个问题：
∵B＝60°，　∴sinB＝√3/2、cosB＝1/2。
由余弦定理，有：b^2＝a^2＋c^2－2accosB，∴4＝a^2＋c^2－ac≧2ac－ac＝ac，
∴△ABC的面积＝（1/2）acsinB≦（1/2）×4×（√3/2）＝√3。