Question

函数f（x）=(ax+b)/(x²+1)是定义在（负无穷，正无穷）的奇函数、f（1/2）=2/5

1、求a、b、确定解析式
2、判断f(x)在（-1,1）的单调性
3、求f（x）的单调减区间、并判断f(x)有无最值、并求出

主要是第三问、用高一知识解答、谢谢。
第三问、二楼的方法看过了、主要是看不懂才提问的。

Answer 1

(1)因为：f(1/2)=2/5
所以：a/2+b=1/2
因为：f(x)为奇函数
所以f(-x)=-f(x),即(-ax+b)/(1+x2)=-(ax+b)/(1+x2),
即(-ax+b)=-(ax+b).
即b=-b
所以b=0，a=1
f(x)=x/(1+x2)
(2)设-1<x1<x2<1,则：f(x2)-f(x1)=x2/(1+x22)-x1/(1+x12)
=(x2+x2x12-x1-x1x22)/(1+x22)(1+x12)
=(x1x2-1)(x1-x2)/(1+x22)(1+x12)
因为：-1<x1<x2<1；所以x1x2-1<0,x1-x2<0,
(1+x22)(1+x12)>0
所以f(x2)>f(x1)
故f(x)在(-1,1)上是增函数
(3)可以求导函数令其小于零 解出x的取值范围
即 a(x^2+1)-2x(ax+b)<0
-ax^2-2xb+a<0
ax^2+2xb-a>0
带入a、b解出来就行了

计算 ax^2+2xb-a=0 【1】（因为函数在R上连续 所以极值就是最值）
算出f(x)的二阶导函数g(x)
解出【1】式中x的两个解 带入如果g(x)<0 为极大值 g(x)>0 为极小值
如果【1】式只有一个解，若该解为极大值 则原式没有极小值
若该解为极小值 则原式没有极大值
如果【1】式没有解 则说明没有最值

Answer 2

函数f（x）=(ax+b)/(x²+1)是定义在（负无穷，正无穷）的奇函数、f（1/2）=2/5
1、求a、b、确定解析式；2、判断f(x)在（-1,1）的单调性；3、求f（x）的单调减区间、并判断f(x)有无最值、并求出
解：(1)因为是奇函数，故b=0，f(x)=ax/(x²+1)，f(1/2)=(a/2)/(1/4+1)=2a/5=2/5，故a=1
于是得解析式f(x)=x/(x²+1)
(2).设-1<x₁<x₂<1，由于f(x₁)-f(x₂)=x₁/(x²₁+1)-x₂/(x²₂+1)
=[x₁(x²₂+1)-x₂(x²₁+1)]/(x²₁+1)(x²₂+1).=[x₁x₂(x₂-x₁)+x₁-x₂]/(x²₁+1)(x²₂+1).
=[(x₁-x₂)(1-x₁x₂)]/(x²₁+1)(x²₂+1)...........(1)
当-1<x₁<x₂≦0时，x₁-x₂<0，0<x₁x₂<1，故1-x₁x₂>0，于是(1)式<0，即在区间(-1，0]
内恒有f(x₁)<f(x₂)，即在(-1，1] 内f(x)单调增；
当0≦x₁<x₂<1时，x₁-x₂<0，0<x₁x₂<1，故1-x₁x₂>0，于是(1)式<0，即在区间[0，1]
内恒有f(x₁)<f(x₂)，即在区间[0，1)内f(x)单调增。又f(0)=0；
故f(x)在区(-1，1)内是单调增加的函数。

Answer 3

函数f（x）=(ax+b)/(x²+1)是定义在（负无穷，正无穷）的奇函数
则f(-x)=-f(x) f(1/2)=2/5
b=0 a=1
∴f(x)=x/(x^2+1)
∴f(x)=1/(x+1/x)
∵g(x)=x+1/x的单调增区间是(-∞,-1]∪[1，+∞)
∴f(x)=1/(x+1/x)的单调减区间为(-∞,-1]∪[1,+∞)

Answer 4

1.---------------------------
f(x)=(ax+b)/(x²+1)
f(1/2)=(1/2*a+b)/(5/4)=2/5
1/2*a+b=1/2

又因为f(x)是奇函数，所以f(-1/2)=-f(1/2)=-2/5
即：
(-1/2*a+b)/(5/4)=-2/5
-1/2*a+b=-1/2

解以上方程组，有：
a=1,b=0

所以函数解析式是：f(x)=x/(x²+1)