Question

高等数学定积分问题

求助各位高手，麻烦为小弟解题。求思路 不仅要答案，这类题目的答题重点-，或是是方法

Answer 1

1.观察上下限,左边是x到1,右边是1到1/x(反过来为1/x到1),注意到x->1/x,1->1,可用反函数解决
所以令t=1/x,那么x=1/t,dx=-dt/t^2
右边=∫[1,1/x] dx/(1+x^2)=∫[1,t] -dt/(t^2 * (1+1/t^2))=∫[1,t] -dt/(t^2+1)=∫[t,1] dt/(1+t^2)
=∫[x,1] dx/(1+x^2) 注∫[1,t]表示1到t的定积分,1是下限,t是上限
2.观察上下限,左边是0到π,右边是0到π(反过来为π到0),注意到0->π,π->0,可用一次函数解决
令t=π-x,那么x=π-t, dx=-dt
左=∫[0,π] xf(sinx)dx = ∫[π,0] -(π-t)f(sint)dt =∫[0,π] (π-t) f(sint)dt
=π∫[0,π] f(sint)dt -∫[0,π] tf(sint)dt=π∫[0,π] f(sint)dt -∫[0,π] xf(sinx)dx
所以2∫[0,π] xf(sinx)dx=π∫[0,π] f(sint)dt
所以∫[0,π] xf(sinx)dx=(π/2)∫[0,π] f(sint)dt =(π/2)∫[0,π] f(sinx)dx

Answer 2

1、证明：右边=∫(1,1/x) dx/(1+x^2) =(令y=1/x,则dx=d(1/y)=-dy/y^2) ∫(1,y) -dy/y^2*1/[1+(1/y)^2]
=∫(y,1) dy/[y^2+1]=∫(x,1) dx/[x^2+1]=左边。
2、证明：左边=∫(0,π) xf(sinx)dx=(令y=π-x，则x=π-y,dx=-dy) =∫(π,0) (π-y)f[sin(π-y)]*(-dy)
=∫(0,π) (π-y)f(siny)*dy=π∫(0,π) f(siny)*dy-∫(0,π)yf(siny)*dy=π∫(0,π) f(sinx)dx-∫(0,π)xf(sinx)dx
解得
左边=∫(0,π) xf(sinx)dx=π/2*∫(0,π) f(sinx)dx=右边。
技巧就是作代换。

Answer 3

这个。。。第一题的话，1、（1+x^2）的积分结果是arctan x。
所以，从x到1的积分结果是PI/4-arctan x,从1/x积分到1的结果是arctan (1/x)-PI/4
右侧移项
arctan x+arctan(1/x)<=PI/2
得证