Question

设数列｛Bn｝的前n项和为Sn，且Bn=2-2Sn;数列｛An｝为等差数列，且A5=14，A7=20。

若Cn=An*Bn（n=1，2，3…），Tn为数列｛Cn｝的前n项和，求证：Tn<3.5

Answer 1

b1=2-2b1,b1=2/3.
bn- b(n-1)=-2(sn-s(n-1))=-2 bn，bn/ b(n-1)=1/3. bn=2/3•(1/3)^(n-1).
a1=2,d=3.
an=3n-1. cn=an*bn=2/3•(3n-1)(1/3)^(n-1)=2n(1/3)^(n-1)-3/2•(1/3)^(n-1)
错位相减
Tn=7/2-(3n-1)(1/3)^n-3/2•(1/3)^(n-1)<3.5

Answer 2

Bn-B(n-1)=2-2Sn-(2-2S(n-1))=-2(Sn-S(n-1))=-2Bn 所以Bn-B(n-1)=-2Bn Bn/B(n-1)=1/3
Bn为等比数列 q=1/3 B1=2-2S1=2-2B1 B1=2/3 所以Bn=(2/3)*(1/3)^(n-1)=2/(3^n)
A7-A5=2d=6, d=3 A1=A5-4d=2 An=2+(n-1)*3=3n-1
所以Cn=An*Bn=（3n-1）*2/(3^n)=n/(3^(n-1)) - 2/(3^n)看做两部分X=n/(3^(n-1)) Y= 2/(3^n)
Tn=X之和-Y之和
Y之和=2/3+2/9+2/27....等比数列=2/3（1-（1/3)^(n-1))/(1-1/3)=1-(1/3)^(n-1)
X之和=1+2*(1/3)+3*(1/3^2)+......+n*1/(3^(n-1))
X之和*3=3+2+3*(1/3)+4*(1/3^2)+...+n*1/(3^(n-2))
上面两式错位相减
X之和*2=3+1+（1/3）+1/（3^2）+1/（3^3）+....+1/(3^(n-2)) - n*1/(3^(n-1))
=4+(1/3 )*(1-(1/3)^(n-3))/(1-1/3)- n*1/(3^(n-1))
X之和=2+(1-(1/3)^(n-3))/4-n/(2*3^(n-1))
Tn=X之和-Y之和

Answer 3

Bn=2-2Sn B(n+1)=2-2S(n+1) 相减得B(n+1)-Bn=-2B(n+1) 即3B(n+1)=Bn 又因为B1=2/3
得Bn=2*(1/3)^n 又因为An=3n-1 得Cn=2(3n-1)(1/3)^n
错位相减法求Tn
Tn=C1+C2+C3+~~~~+Cn=2[ 2(1/3)+5(1/3)^2+ ~~~ +(3n-1)(1/3)^n ]
(1/3)Tn=(1/3)C1+(1/3)C2+~~~~+(1/3)Cn=2[ 2(1/3)^2 + 5(1/3)^3 + ~~~ + (3n-4)(1/3)^n + (3n-1)(1/3)^(n+1)
相减 化简 得 Tn=3.5-[(6n+1)/2](1/3)^n<3.5