Question

定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)+f(1-x)=2,f(x/5)=1/2f(x),且当0≤x1<x2≤1 时，f(x1)≤f(x2),

f(1/2010)=?????,

ps.这是考试题，我傻了

Answer 1

f(x)+f(1-x)=1中取x=得的f(1)=1，
取x=1/2得f(1/2)=1/2，
由f(x/5)=1/2f(x)得f(1/5)=1/2f(1)=1/2，
f(1/25)=1/2f(1/5)=1/4，
f(1/125)=1/2f(1/5)=1/8，
f(1/625)=1/2f(1/125)=1/16，
f(1/3125)=1/2f(1/625)=1/32。
由f(x/5)=1/2f(x)得f(1/10)=1/2f(1/2)=1/4，
f(1/50)=1/2f(1/10)=1/8，
f(1/250)=1/2f(50)=1/16，
f(1/1250)=1/2f(250)=1/32，
由f(1/3125)≤f(1/2011)≤f(1/1250)
及f(1/3125)=f(1/1250)=1/32且函数在（0,1）上是单调增函数
得f(1/2011)=1/32

追问

f(x)+f(1-x)=1 哪来的？
原题=2