Question

设函数f(x)连续，且∫x(上标)0(下标)tf(2x-t)dt=(arctanx^2)/2，已知f(1)=1，则∫2(上标)1(下标)f(x)dx=？

详细过程。答案是3/4.

Answer 1

第一步：先令（2x-t）=u，则相应地也应变化原函数的积分区间，则函数转变为∫2x(上标)x(下标)(2x-u)f(u)du；第二步：将上式化为2x∫2x(上标)x(下标)f(u)du-∫2x(上标)x(下标)uf(u)，将其求导：2∫2x(上标)x(下标)f(u)du+2x[f(2x)-f(x)]-2xf(2x)+xf(x)=2∫2x(上标)x(下标)f(u)du-xf(x)=x/(1+x^4)；第三步：取x=1时，则2∫2(上标)1(下标)f(u)du-f(1)=1/2,然后将其移项后计算得：∫2(上标)1(下标)f(x)dx=3/4!! 以上的x不是乘积符号，是被解释变量x。

Answer 2

先对∫x(上标)0(下标)tf(2x-t)dt=(arctanx^2)/2两边求导，再用分部积分，算出f(x)的积分
符号不好打，楼主先自己算算

Answer 3

∫x(上标)0(下标)tf(2x-t)dt=(arctanx^2)/2两边对x求导

追问

我导好之后就变成了f(x)=1/(1+x4)，可他题目里说f(1)=1

追答

是你求导求错了，注意f(2x-t)里有x

追问

那求导，求出来，应该是多少啊

追答

呵呵