Question

一道初三数学题，求详细过程。

如图，等边△ABC内接于⊙O，P是 AB̂上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）填空：∠APC=60度，∠BPC=60度；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．

Answer 1

(1)因为同弧所对的圆周角相等
∴APC=ABC=60，BPC=BAC=60
（2）∵等边△ABC ∴AC=BC，∠ACB=60°
又∵CM∥BP ∴∠PCM=∠BPC=60°，∠M=60°=∠BPC
∴∠PCM=∠ACB=60°
∴∠PCB=∠MCA
∴△ACM≌△BCP(AAS)
(3)易证△MCP为正三角形
∴PC=PM=PA+AM=PA+PB=3
作BD⊥PC于D
△BDP中DP=BP的一半=1
∴BD=根号三
S△PCM=9/4根号三
S△PCB=PC*BD/2=3/2根号三
∴S梯形PBCM=15/4根号三

Answer 2

（1）60 60
（2）
证明：
∵等边△ABC ∴AC=BC，∠ACB=60°
又∵CM∥BP ∴∠PCM=∠BPC=60°，∠M=60°=∠BPC
∴∠PCM=∠ACB=60°
∴∠PCB=∠MCA
∴△ACM≌△BCP(AAS)
(3)
明显△MCP为正三角形
∴PC=2+1=3
作BD⊥PC于D
求得BD=√3
S△PCM=9/4√3
S△PCB=3/2√3
∴S梯形PBCM=15/4√3