Question

二次函数的图像与x轴两交点之间的距离是2，且过（2,1）（-1，-8）两点

求解析式

Answer 1

设交点为b, b+2
设函数为:y=a(x-b)(x-b-2)
代入两点:
1=a(2-b)(2-b-2) ==> ab(b-2)=1
-8=a(-1-b)(-1-b-2) ==>a(b+1)(b+3)=-8
两式相除得关于b的二次方程:
解得b=1/3, 1
故a=-9/5, -1
因此函数有两个解:
y=-9/5 (x-1/3)(x-7/3) 或
y=-(x-1)(x-3)

Answer 2

二次函数解析式有一种是交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
因为与x轴两交点之间的距离是2，可设两点（b,0）（b+2,0）
带入交点式可得
y=a(x-b)[x-(b+2)]
又因为过（2,1）（-1，-8）两点
所以1=a(2-b)[2-(b+2)]
-8=a(-1-b)[-1-(b+2)]
解得a=-9/5,b=1/3 或a=-1,b=1
所以二次函数的解析式为y=-9/5(x-1/3)(x-7/3)或y=-(x-1)(x-3)