Question

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线 y=1/4x^2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线 y=1/4x^2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）.对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

Answer 1

如果F是焦点，那么这条直线应该是抛物线的准线，但此题的F不是焦点，所以作如下证明
证：如果MN平行X轴，那么MN=4，以MN为直径的圆的水平方向的切线：y=-1或y=3
如果MN转过一个角度，比如转到45度，那么此时的MN=8 中点（圆心）位于（2,3），切线仍为Y=-1
当K为任意值时：MN：y=kx+1 y=0.25x^2 x^2-4kx-4=0 MN^2=(x1-x2)^2+(Y1-Y2)^2
=(1+K^2)(X1-X2)^2=(1+k^2)(16k^2+16) MN=4(k^2+1) 以MN为直径的圆 R=2k^2+2
MN 中点 x中=（x1+x2）/2=4k/2=2k y中=kX中+1=2k^2+1
此时该圆的水平切线方程为：y=y中-R=-1
所以存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切，切线方程为 y=-1

Answer 2

证：如果MN平行X轴，那么MN=4，以MN为直径的圆的水平方向的切线：y=-1或y=3
如果MN转过一个角度，比如转到45度，那么此时的MN=8 中点（圆心）位于（2,3），切线仍为Y=-1
当K为任意值时：MN：y=kx+1 y=0.25x^2 x^2-4kx-4=0 MN^2=(x1-x2)^2+(Y1-Y2)^2
=(1+K^2)(X1-X2)^2=(1+k^2)(16k^2+16) MN=4(k^2+1) 以MN为直径的圆 R=2k^2+2
MN 中点 x中=（x1+x2）/2=4k/2=2k y中=kX中+1=2k^2+1
此时该圆的水平切线方程为：y=y中-R=-1
所以存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切，切线方程为 y=-1

Answer 3

我觉得还要说明定直线 m为什么只能在MN下方，方可给出“此时该圆的水平切线方程为：y=y中-R=-1”， 而不是“此时该圆的水平切线方程为：y=y中+R=-1”。