Question

已知函数y=f(x)=X2+2x+a/x,x属于[1,正无穷). (1)当a=1/2时,求函数f(x)的最小值 (2)若对任意x属于[1,正无穷

f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围。

Answer 1

首先 f(x) = x + a/x + 2
1、当a = 0.5时，f(x) = x + 1/2x + 2极值点在x = √(1/2) < 1处所以取不到
在[1,正无穷)上单调增，最小值在 f(1) = 7/2
f(x) > 0 <=> x2 + 2x + a > 0 <=> a > -x2 - 2x
因此取右边函数在[1,正无穷)上的最大值（因为是恒成立问题）等于-2
所以a > -2

Answer 2

∵f(x)>0恒成立
∴x²+2x+a＞0恒成立
∵x²+2x+a在[-1，正无穷）上单调递增。
∴x=1时，f（x）=3+a

当x=1时，f(x)取得最小值。
∴3+a＞0 f(x)＞0恒成立
∴a＞-3