Question

讨论f(x)=x+16/x在[1,8]上单调性,并利用单调性,求其值域

要过程，最好详细点，感激不禁

Answer 1

又想用微分了。
df(x)/dx = 1 - 16/x^2
当 df(x)/dx = 0 时，对应 f(x) 极值。
1 - 16/x^2 = 0
x = ±4
由于题目限定区间为 x ∈[1, 8] ，所以 x 对应极值只能取 x = 4 ，此时 f(x) = 8

当 x ∈[1, 4] ，df(x)/dx = 1 - 16/x^2 < 0 ，原函数 f(x) 单调递减
当 x ∈[4, 8] ，df(x)/dx = 1 - 16/x^2 > 0 ，原函数 f(x) 单调递增

对于 x ∈[1, 8] ，f(x) 的两个边界值分别为 17 和 10 ，所以 f(x) 在 x ∈[1, 8] 上的值域为 [8, 17]

Answer 2

因为题中给出的x大于0，所以有x+16/x大于等于2倍根号下x 乘以16/x的积，所以x+16/x大于等于8，当x=4，等号取到。所以f(x)=x+16/x在[1，4]单调减，f(x)=x+16/x在[4，8]单调增，至于值域就是[8，17]。