Question

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点 当BD/AB=1/3是，求二面角B—CD—B1的余弦值

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，
D是AB的中点 当BD/AB=1/3是，求二面角B—CD—B1的余弦值 用及合法做，向量法我会做。摆脱各位大神啦。

Answer 1

求得：BD= 5/3, cos角ABC = 3/5. 由余弦定理得：
CD = 根号(25/9 +9 -2*3* (5/3)*(3/5))=根号(52/9).
再由正弦定理：BC/sin角CDB = CD/sin角ABC.
求得:sin角CDB = 3*(4/5)/根号(52/9)=(4/5)根号(52).
作BE垂直于CD于E, 连接B1E, 知CD垂直于B1E (垂直于斜线的投影,就垂直于这斜线)
故角BEB1即为二面角B-CD-B1的平面角. 现求其余弦.
在直角三角形B1BE中,BB1 =4, BE = BD*sin角CDB = (5/3)*(4/5)*根号(52) =(4/3)根号52.
从而得:tan角BEB1=3/(根号52)
即得cos角BEB1 =1/根号[1+(tan角BEB1)^2]= 根号(52/61)=2根号(13/61).
即二面角B—CD—B1的余弦值为:2根号(13/61).

Answer 2

学了挺久了，你看看是不是这样子：
过B做CD的垂线，交CD于E，则二面角的正弦值=B1B/BE，由此可推出二面角的余弦值。
而在RT三角形ABC中，要求得BE是比较容易的，我给出一个算法，用BC、BD及角B的余弦值通过公式求出CD长，再通过面积求得CD边上的高也就是BE的长。

这样应该会算了吧？