Question

已知a>b>0，比较(a+b)/2，根号下ab，(a-b)/(lna-lnb)的大小。

已知a>b>0，比较(a+b)/2，根号下ab，(a-b)/(lna-lnb)的大小。本来是选择题。

Answer 1

解析：

基本不等式睁斗：明歼
(a+b)/2>√(ab)

y=(a-b)/(lna-lnb)
a=5，b=1时，y=5/ln5
a=0.5，b=1时，y<激早冲0

Answer 2

根号下ab 叫a,b的几何平均值 （a+b）/2是a，b的算术平均值，(a-b)/(lna-lnb)是a,b的对数平均值（a≠b）。这三个之间有这样的关系几何平均值＜对数平均值＜算术平均值（a，b不相等的情况下）。
其中几何平均值小于算术平均值的证明，高中教材会讲明棚，本质用到（a-b）的平方≥0,a^2+b^2≥2ab，缺槐行用根号a替换a，根号b替换b即可证明。
涉及到对数平均值的证明属于高中数学拓展内容，有的老师讲有的不讲直接让记结论，这个方法挺多的，建议直接百度对数均值不等式的证明，或者在知乎上搜索对数均值不等式。
一个方法思路，设a>b,记a/b=t 则t>1,把原式转化成关于t的函数，再构造函数求导证明。
另外有个几何图形证明，作出y=1/x ，取x=a，和x=b，则曲线和x=a，x=b围成的图形面积根据定积伏哗分知识就是lna-lnb，取一点（(a+b)/2,2/(a+b)）,过该点做函数切线，根据围成的梯形面积小于上面曲边梯形的面积，在计算梯形面积，整理可以得到要证明的不等式右边。
证明左边（也就是对数平均值大于几何平均值）要取x=根号ab在函数上的点，和（a,1/a）,(b,1/b)两点相连作出外接两个梯形，还是用面积比较得出证明。

Answer 3

用重要不等式