Question

[(2+e的x分之1)/(1+e的x分之2)+ |x|/x]在x趋向于0时的极限

答案是存在，结果是1，求过程，求真相

Answer 1

对x,y进行极坐标变换,则:

x+y = ρ；dxdy = ρ*dρ*dθ

F = [D]∫∫e^[-(x+y)]*dx *dy

= [0,+∞)[0,2π]∫∫e^(-ρ) ρ*dρ*dθ

= [0,2π]∫dθ *(0,+∞)∫e^(-ρ) ρ*dρ

= 2π* 1/2*[0,+∞)*∫e^(-ρ) *dρ

= π

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

Answer 2

(x->0)lim[2+e^(1/x)]/[(1+e^(2/x)] + |x|/x
=(t->∞)lim(2+e^t)/(1+e^2t) + t/|t| 变换变量 t=1/x
=(t->∞)lim(2/e^t+1)/(1/e^t+e^t) + t/|t|
=(t->∞)lim 1/e^t + t/|t|
=(t->∞)lim t/|t|
t->+∞, 原式=1
t->-∞, 原式=-1
故原式不存在极限

追问

答案是存在，结果是1

追答

考虑到 (x->0+) lim e^(1/x) =∞，(x->0-) lim e^(1/x) =0
(x->0+) lim [2+e^(1/x)]/[(1+e^(2/x)] + |x|/x
=(x->0+) lim [2/e^(1/x)+1]/[1/e^(1/x)+e^(1/x)] + x/x
=(x->0+) lim 1/e^(1/x) + x/x
=0+1
=1
(x->0-) lim [2+e^(1/x)]/[(1+e^(2/x)] + |x|/x
=(x->0-) lim 2/(1+0^2) - x/x
=2-1
=1
在x=0处的左极限和右极限相等，所以原式的极限为 1.
原式前半部分 [2+e^(1/x)]/[(1+e^(2/x)] 的左右极限分别为 2 和 0，后半部分 |x|/x 的左右极限分别为 -1 和 1，相加后左右极限刚好都等于 1，因此原式极限为 1，这就是真相。需要对间断点 x=0 进行讨论，否则按常规方法很容易出错。