Question

数列中求通项公式的待定系数法的几个小疑问

数列递推公式中：a(n+1)+b=Aa(n)+b（A、b为已知数）←形如这样的，已知递推公式，求通项公式，可以设：a(n+1)+xb=A[a(n)+xb],然后求出x，继而把a(n)+xb作为公比为A的等比数列，是这样吗？
为什么待定系数法可以设成这样呢？道理在哪里？对于待定系数法的使用范围：是什么样的数列可以用待定系数法呢？人们是怎么想到要设成这样？（是为了求x时让等式两边同时抵消Aa(n)好求出x？）

Answer 1

这就是利用构造法 构造出新数列 使新数列为等差或等比
我在这里告诉你几个常见形式的递推式求通项公式的方法
(1)形如：an+1=an+f(n)的递推式

利用叠加法，将an=an-1+f(n-1) an-1=an-2+f(n-2) ......a2=a1+f(1),

各式相加，得： n-1

an=a1+Σ f(k) (n≥2)

k=1

(2)形如：an+1=f(n)an的递推式

利用迭代法，将an=f(n-1)an-1 an-1=f(n-2)an-2 ...... a2=f(1)a1

各式相乘。得： an=a1f(1)f(2)....f(n-1)

(3)形如 an+1=pan+q的递推式

当p=1时数列为等差数列，

当q=0,p≠0时数列为等比数列

当p≠1,p≠0,q≠0时，

令an+1-λ=p(an-λ),整理得：an+1=pan+(1-p)λ,由an+1=pan+q 有 （1-p)λ=q 所以 λ=q/(1-p）

从而：an+1-q/(1-p)=p(an-q/(1-p) 所以数列{an-q/(1-p）}是首项为a1-q/(1-p） 公比为p的等比数列

故;an=[a1-q/(1-p)]p^(n-1)+q/(1-p)

(4)形如an+1=pan+f(n)的递推式

将上式两边除以p^(n+1),得：an+1/p^(n+1)=an/p^n+f(n)/p^(n+1)

令bn=an/p^n 则bn+1=bn+f(n)/p^(n+1),由此可求出bn,从而求出an

(5)形如an+1=f(n)an+g(n)的递推式

设辅助数列{h(n)} 使f(n)=h(n)/h(n+1),则an+1=h(n)/h(n+1)*an+g(n)

即：an+1h(n+1)=anh(n)+g(n)h(n+1).令bn=anh(n),则bn+1=bn+g(n)h(n+1)

转化为第一种类型的递推式，可求出bn,从而求出an

希望能够帮到你！O(∩_∩)O谢谢！

追问

其实你不用回答那么多的，告诉我我说的对不对还有解答疑问就可以了。。
你的(2)是要把右边的先除过去再累乘的吧？形如(4)(5)的数列是否可用待定系数法呢？（只不过解出的x是含有n的式子，不过这样应该没关系吧？）

追答

嗯 对。(2)是要把右边的先除过去再累乘的 形如(4)(5)的数列可用待定系数法
数列递推公式中：a(n+1)+b=Aa(n)+b（A、b为已知数）←形如这样的，已知递推公式，求通项公式，可以设：a(n+1)+xb=A[a(n)+xb],然后求出x，继而把a(n)+xb作为公比为A的等比数列 是这样的
这就是利用构造法 构造出新数列 使新数列为等差或等比