Question

在椭圆x²/2+y²/3=1上求一点P，使它到直线x-y=5的距离最小

Answer 1

解：
由椭圆方程，设点P坐标(√2cosθ，√3sinθ)，(0≤θ<2π)
由x-y=5得x-y-5=0
由点到直线距离公式得：
d=|√2cosθ-√3sinθ-5|/√[1²+(-1)²]
=|√5cos(θ+γ)-5|/√2
其中，sinγ=√(3/5)，cosγ=√(2/5)
cos(θ+γ)=1时，d取得最小值
dmin=|√5·1-5|/√2=(5√2-√10)/2
0≤θ<2π，因此只有θ+γ=2π，θ=2π-γ
√2cosθ=√2cos(2π-γ)=√2cosγ=[√(2/5)]√2=2√5/5
√3sinθ=√3sin(2π-γ)=-√3sinγ=-√3[√(3/5)]=-3√5/5
所求点P的坐标为(2√5/5，-3√5/5)，最小距离为(5√2-√10)/2