Question

求解一一元三次方程

X^3-6X^2+aX+b=0,已知一解为2-3i，求a，b和其他解

Answer 1

解：
已知一解为2-3i，则其共轭复数必定也为方程的根。
[x-(2-3i)][x-(2+3i)]=x²-4x+5
令x³-6x²+ax+b=(x+x₃)(x²-4x+5)
整理，得：(x₃+2)x²-(a+4x₃-5)x+5x₃-b=0
要对任意实数x，等式恒成立
x₃+2=0
a+4x₃-5=0
5x₃-b=0
解得a=13，b=-10，x₃=-2
a的值为13，b的值为-10，方程其余两根分别为2+3i、-2

追问

额，四年前学的虚数的东西都忘了，求教[x-(2-3i)][x-(2+3i)]=x²-4x+5是怎么出来的额-v-

追答

哦，确实是算错了。
[x-(2-3i)][x-(2+3i)]
=x²-(2+3i)x-(2-3i)x+(2-3i)(2+3i)
=x²-(2+3i+2-3i)x+2²-(3i)²
=x²-4x+4-(-9)
=x²-4x+13
重新写一下：
解：
已知一解为2-3i，则其共轭复数必定也为方程的根。
[x-(2-3i)][x-(2+3i)]=x²-4x+13
令x³-6x²+ax+b=(x+x₃)(x²-4x+13)
整理，得(x₃+2)x²-(a+4x₃-13)x+13x₃-b=0
要对任意实数x，等式恒成立
x₃+2=0
a+4x₃-13=0
13x₃-b=0
解得a=21，b=-26，x₃=-2
a的值为21，b的值为-26，方程其余两根分别为2+3i、-2

追问

额其实我不是发现你算错了只是想知道为什么要算[x-(2-3i)][x-(2+3i)]，(x+x₃)(x²-4x+13)是什么意思呢。。。很想知道解这种题诀窍又要问你了不好意思。。。

追答

嗯，检查的时候发现确实算错了，于是重新写了一遍。具体的过程我已经写了。就是写在最前面的那个计算过程。

Answer 2