Question

高一数学！！！！急急！！

已知定义域为R的函数f(x)对任意函数x.y满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cos y,且f(0)=0,f(兀／2)=1，证明
f(x)为周期函数，并判断单调性。

Answer 1

由已知得f(0+y)+f(0-y)=2f(0)cosy=0,故f(-y)=-f(y)为奇函数.
再由已知得f(x+π/2)+f(x-π/2)=2f(x)cosπ/2=0,由奇函数得 f(π/2+x)=f(π/2-x),
即f(π+x)=f(x),所以 f(x)为周期函数