Question

如图梯形ABCD是直角梯形,边AB,AD在两面墙上,AB‖CD,BC⊥CD，∠BAD=135°，边BC,CD的长度之和为40m，若梯形

如图梯形ABCD是直角梯形,边AB,AD在两面墙上,AB‖CD,BC⊥CD，∠BAD=135°，边BC,CD的长度之和为40m，若梯形的高BC的长度为xm，则x取何值时，梯形的面积最大？并求出最大值.

Answer 1

有a做cd的垂直辅助线交点为E
bc+cd=40，bc=x 所以cd=40-x
bad=135° bcd=90°所以ead=45°
ab‖ae 所以ae=ed=x ce=ab=40
面积S=（40+40-x）*x/2=（1600-（40-x）2）/2
所以x=40 最大=800

Answer 2

设AB为a BC为b cd为c DA为d
S=（b+d）*c/2

因为b+c=15 角abc为45度
b=15-c
b=c+d
所以d=15-2c
S=（b+d）*c/2 代入b=15-c
=(15-c+d）*c/2
=(15c-c*c+d*c)/2 代入d=15-2c
=（15c-c*c+15c-2c*c）/2
=3(10c-c*c)/2

利用导数求极值可以得一阶导数-2c+10=0 二阶导数为-2<0 故c=5时 有最大值
或者
S=3*(5c-c*c+5*5-25)/2=-3*((c-5)*(c-5)+25)/2
当c为5时有最大值 b=10

Answer 3

当x=20时，s最大=400m2