Question

讨论函数f(x)=x+a／x(a≠0)的单调性

Answer 1

(1)a<0时,y=x和y=a/x都是单调递增,故f(x)=x+a/x单调递增.
(2)a>0
所以,当x>0时
f(x)=x+a/x≥2√(x*a/x)=2√a
等号成立时
x=a/x
x=√a

所以在0<x<√a时，函数单调递减
x>√a,函数单调递增

所以,当x<0时
f(x)=x+a/x≤2√(x*a/x)=2√a
等号成立时
x=a/x
x=-√a

所以在-√a<x<0时，函数单调递增
x<-√a,函数单调递减

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设0<x1<x2,则y1-y2=(x1-x2)·(x1x2-a)/x1x2,∵`x1-x2<0,x1x2>0,
(i)若0<x1<x2<√a,则x1x2-a<0,y1-y2>0,y1>y2.
∴`y在(0,√a]上是减函数
(ii)若√a<x1<x2,则x1x2-a>0,y1-y2<0,y1<y2.
∴`y在[√a，+∞)上是增函数
∵`y=x+a/x(a>0)是奇函数,
∴`y在(-∞,-√a]上是增函数.y在[-√a，0)上是减函数

追问

(2)a>0
所以,当x>0时
f(x)=x+a/x≥2√(x*a/x)=2√a
从这里就看不懂了= = 麻烦帮我讲解一下

Answer 2

首先，f(x)的定义域为x不等于0
f‘(x)=1-a/x^2
令f‘(x)=0得x=√a或-√a
当x<-√a时，f‘(x)>0,f(x)单调递增
当-√a<x<0或0<x<√a时，f‘(x)<0,f(x)单调递减
当x>√a时，f‘(x)>0,f(x)单调递增

追问

谢谢，我想问一下 当a＜0时，由单调函数的定义可知，f(x)=x+a／x在（0，＋∞），（—∞，0）上都是增函数 是什么意思？

Answer 3

当a》0时，f(x)的图像是双勾线，单调性显见；
当a《0时，f（x)的导函数的值恒大于0，单增；
望采纳