Question

已知点AB的坐标分别是（0，-1）、（0,1）直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为-1/2.<1>求点M的轨迹C的

已知点AB的坐标分别是（0，-1）、（0,1）直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为-1/2.<1>求点M的轨迹C的方程<2>若过点D（2,0)的直线L与<1>中的估计C交于不同的两点E.F（E在D.F之间）,试求△ODE与△ODF面积之比的取值范围（0为坐标原点）

Answer 1

1、设M（x,y）,则(y+1)/x * (y-1)/x =-1/2，即轨迹为x^2/2+y^2=1
2、设过D（2,0）的直线为y=a(x-2),代入到轨迹C的方程中有x^2/2+a^2*(x-2)^2=1，即
(a^2+1/2)*x^2-4a^2*x+(4a^2-1)=0,有两个不同交点即方程有两个不同实根，即16a^4-4*(4a^2-1)(a^2+1/2)>0,解得 -√哗渗2/2 <a<√2/2,斜猛宏率范围是(-√2/2 ,√2/2)
3、设E(x1,y1),F(x2,y2)(x1>x2),△ODE与△ODF公共底边OD，乱知脊故面积比值即y1/y2=(x1-2)/(x2-2)
由第二问可知 x1-2、 x2-2分别是(a^2+1/2)*(x+2)^2-4a^2*(x+2)+(4a^2-1)=0的两实根，整理得
(a^2+1/2)*x^2+2*x+1=0,则y1/y2=(x1-2)/(x2-2)=(-2+√(2-4a^2))/(-2-√(2-4a^2))=-1+4/(2+√(2-4a^2))<1,即面积之比范围为（0,1）