Question

已知F1 F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果角PF2Q=90°，求

已知F1 F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果角PF2Q=90°，求双曲线的离心率
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Answer 1

∵角PF2Q=90°
PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，由对称性知pF2F1=45°
三角形PF2F1是等腰直角三角形
∴PF1=F1F2=2c
PF2=√2PF1=2√2c
由双曲线的定义知
PF2-PF1=2a
∴2√2c-2c=2a
∴离心率e=c／a=1／﹙√2-1﹚＝ √2+1

Answer 2

△PQF2是等腰RT△，斜边PQ，
F1F2是斜边的高，
|F1F2|=2c,
|PQ|=2|F1F2|=4c,（斜边是其中线的2倍），
||PF2|=（√2/2）|PQ|=2√2c，
|PF1|=|PQ|/2=2c,
根据双曲线定义，
|PF2|-|PF1|=2a,
2√2c-2c=2a,
√2c-c=2a,
c(√2-1)=a,
∴e=1+√2

Answer 3

易知三角形PF2Q是等腰直角三角形，故|PF2|=√2*|PF1||=√2*|F1F2|=2√2*c
根据双曲线性质，P点到两焦点距离之差为定值2a,即2a=|PF2|-|PF1||=2√2*c-2c=2(√2-1)c
所以离心率e=c/a=√2+1