Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD面积的最大值

Answer 1

给你一个思路：
梯形面积等于两底之和乘以高除以2，所以：梯形ABCD的面积等于（3＋7）×高÷2＝5×高
所以，面积最大就是高最大。
设AC和BD交于E，则△AED的高加上△BEC的高等于梯形的高。
要让梯形的高最大，就要让△AED的高加上△BEC的高最大。
以△AED为例：
2×S△AED ＝ AE×DE ＝ AD ×高＝3×高
所以要让高最大，就等于AE×DE最大，而AE和DE的平方和等于AD的平方等于9，所以：
令AE ＝ a，DE ＝ b，则 a^2＋b^2－2ab ＝ (a－b)^2 ≥ 0
∴ 2ab ≤ a^2＋b^2 ＝9
这样就可以算出△AED的高，同理算出△BEC的高，加在一起就是梯形的高。
再根据一开始说的梯形面积的公式，就可算出梯形ABCD面积的最大值。

另外，如果是填空或者选择题，有个窍门：就是AE＝DE，直接用勾股定理就可以算出高，直接乘以5就行了。

Answer 2

解：作DF∥AC叫BC的延长线于F
那么ACFD为平行四边形，三角形BDF为直角三角形
所以S△CFD=S△ACD=S△ABD
所以S△CFD+S△BCD=S△ABD+S△BCD
即S△BDF为梯形的面积
且有BF=AD+BC=10
设DB=a，DF=b
根据勾股定理，有a^2+b^2=10^2=100
S△BDF=ab/2≤（a^2+b^2）/4=25 ，当a=b时取等号
所以梯形的最大面积是25

Answer 3

解：过D作DE∥AC，交BC于E，则得平行四边形ACED，CE=AD=3

∵AC⊥BD，∴DE⊥BD，△BDE为直角三角形

取BE中点F，连接DF，则DF=BE/2=10/2=5

根据垂线段最短，过D作BE垂线段DH，则DH≤DF=5

∴S梯形ABCD=（AD+BE）DH/2≤（AD+BE）DF/2=（3+7）5/2=25