Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD面积的最大值

Answer 1

16．（2011•陕西）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD面积的最大值　25　．

考点：梯形；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，DH⊥BC于H，得到四边形ADEC是平行四边形，推出AC=DE，AD=CE=3，∠BFC=∠BDE=90°，求出BH=EH=DH=5，根据梯形的面积公式（AD+BC）•DH，即可求出答案．
解答：解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，DH⊥BC于H，
∵DE∥AC，AD∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE，AD=CE=3，∠BFC=∠BDE=90°，
∴BC+CE=BC+AD=7+3=10，
∴BD2+DE2=BE2=100，
∵（BD+DE）2=BD2+DE2+2BD•DE≥4BD•DE，
∴当BD=DE时，BD+DE最大，
∴BH=EH=（3+7）=5，
∴DH=5，
∴梯形的面积的最大值是（AD+BC）•DH=×10×5=25，
故答案为：25．

点评：本题主要考查对梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线把梯形转化成平行四边形和三角形是解此题的关键．

Answer 2

　　望采纳     

　　 这道题目考点是：梯形；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质

　　      分析：解法一、平移对角线AC后，会构造出一个直角三角形，这个直角三角形的面积就等于原梯形的面积．该三角形的斜边为3+7=10，此时，它的高越大，面积就越大．解法二、过O作ON⊥AD于N，设ON=h，AO=a，DO=ka，求出△ANO∽△AOD，得出比例式，代入求出h= 

　　ka23

　　，根据勾股定理得出a2+（ka）2=32，求出a2= 

　　91+k2

　　，推出h= 

　　3k1+k2

　　，只有当k=1时，即△AOD是等腰三角形时，h有最大值是1.5，同理求出△BOC边BC上的高的最大值式3.5，据梯形的面积公式代入求出即可。

　　具体解答：

 

过D作DE∥AC交BC延长线于E，
∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，
∴根据等底等高的三角形面积相等得出△ABD的面积等于△DCE的面积，
即梯形ABCD的面积等于△BDC的面积，
∵AC⊥BD，DE∥AC，
∴∠BDE=90°，BE=3+7=10，
∴此时△BDE的边BE边上的高越大，它的面积就越大，
即当高是12BE时最大，
即梯形的最大面积是12×10×12×10=25

• 其实此题还有一个更加简便的思路

　　要求梯形最大值，上下底都是确定的，要高最大即可，所以以BE为直径画圆，当高为半径（垂直于BE）时，高最长。

Answer 3

将BD平移，使点与点重合，交CB的延长线于E，取CE中点F由AC⊥BD可知AC⊥AE，则三角形AEC的面积=梯形的面积，所以S梯形abcd=S△AEC，S△AEC小于或等于CE*AF/2=10*5/2=25，所以梯形ABCD面积的最大值为25

Answer 4

将BD平移，使点与点重合，交CB的延长线于E，由AC⊥BD可知AC⊥AE，则三角形AFC的面积=梯形的面积，由勾股定理两直角边平方和等于斜边的平方，得出两只角边的乘积，在判断。。。。。，最大值为25