Question

过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左焦点作圆x^2+y^2=a^2/4的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P

过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左焦点作圆x^2+y^2=a^2/4的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若向量OE=1/2(向量OF+向量OP),则双曲线的离心率是_

答案是 根号10/2

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Answer 1

因为向量OE=1/2(向量OF+向量OP),所以2OE=OF+OP，可得E是PF中点，且PF垂直OE
在三角形OFE中，由勾股定理得（1/2PF）^2+a^2/4=c^2
又|PF|-|PF'|=2a
所以（1/2*3a^2）+a^2/4=c^2
所以c^2/a^2=10/4
所以e=根号10/2

追问

（1/2*3a^2）哪来的