Question

复变函数中为什么解析函数的导数仍然是解析的

最好能用详细式子证明

Answer 1

柯西-黎曼方程是最好的解释方法。假设f(z)=u+iv在区域D上解析，那么

并且有

那么对于函数f'(z)的实部和虚部来说，有

因此U和V依然满足柯西-黎曼方程，所以函数f'(z)也是D上的解析函数。

根据这样的递推关系，可以证明，f(z)的任意自然数阶导数都是D上的解析函数。

Answer 2

引用知导者的回答：
柯西-黎曼方程是最好的解释方法。假设f(z)=u+iv在区域D上解析，那么

并且有

那么对于函数f'(z)的实部和虚部来说，有

因此U和V依然满足柯西-黎曼方程，所以函数f'(z)也是D上的解析函数。
根据这样的递推关系，可以证明，f(z)的任意自然数阶导数都是D上的解析函数。

解析时偏导数是连续的。你怎么能够它的各阶偏导数连续