Question

求微分方程xy'+(1-x)y=xe^2,x趋于0时y(x)的极限为1的特解

Answer 1

y'+(1-x)/x*y =e^2
∫(1-x)/x dx=∫(1/x-1)dx=lnx-x
∫e^2 e^(lnx-x)dx=e^2∫xe^(-x) dx=e^2 [ -xe^(-x)+∫e^(-x)dx]=e^2[-xe^(-x)-e^(-x)]
因此原方程的通解为：y=e^(-lnx+x)(C+e^2[-xe^(-x)-e^(-x)])=e^x/x *(C+e^2[-xe^(-x)-e^(-x)])
x-->0时，为使y有极限， 需有：C=e^2
所以有：y=e^x/x *e^2(1-xe^(-x)-e^(-x))=e^2/x *(e^x-x-1)

追问

为什么C=e^2,请详解

追答

这是因为x-->0时，要使其有极限的要求.
e^x-->1, e^(-x)-->1, xe^(-x)-->x
C+e^2[-xe^(-x)-e^(-x)])趋于C-e^2
这样因为分母趋于0，分子趋于C-e^2也需为0.

Answer 2

xdy+(1-x)ydx=xe^2dx
xdy+ydx-xydx=xe^2dx
dxy-xydx=xe^2dx
xy=u
du-udx=xe^2dx
du=(xe^2+u)dx
设v=xe^2+u du=e^2dx-dv
e^2dx-dv=vdx
(e^2-v)dx=dv
dx=dv/(e^2-v)
-x=ln|v-e^2|+C
通解-x=ln|xe^2+xy-e^2|+C

追问

是求特解呀

追答

0=ln|-e^2|+C
C=-2
特解 -x=ln|xe^2+xy-e^2| -2

追问

书上答案是e^x(e^x-1)/x

追答

发现误算，修正如下：
xdy+(1-x)ydx=xe^2dx
xdy+ydx-xydx=xe^2dx
dxy-xydx=xe^2dx
xy=u
du-udx=xe^2dx
du=(xe^2+u)dx
设v=xe^2+u du=dv-e^2dx
dv-e^2dx=vdx
(e^2+v)dx=dv
dx=dv/(e^2+v)
通解x=ln|v+e^2|+C
x=ln|xe^2+xy+e^2|+C
这个通解形式在x->0,y->1
特解：0=lne^2+C
C=-2

y=[e^x(e^x-1)/x ], y'=(2e^2x-e^x)/x+(-e^2x+e^x)/x^2
xy'=2e^2x-e^x+(e^x-e^2x)/x
(1-x)y=(e^2x-e^x)*(1-x)/x=(e^2x-e^x)/x+e^x-e^2x
xy'+(1-x)y=2e^2x-e^x+e^x-e^2x=e^2x
题目有问题或者答案有问题！

Answer 3

这道题有问题，分子是常数啊 能把题目再核对一下吗 或把书上答案发一下

追问

核对后发现X是趋于0+，其它没错误

追答

居然是这种答案 那C是多少啊 根本说不通啊