Question

lim(x→0) √(1+tanx) - √(1+sinx) / x^2(e^3x -1)

Answer 1

利用等价无穷小，解答如图

Answer 2

　　解：分享一种解法，利用无穷小量替换求解。
　　∵x→0时，(1+x)^α~1+αx，cosx~1-(1/2)x^2，e^x~1+x，
　　∴(1+tanx)^(1/2)-(1+sinx)^(1/2)~(1/2)(tanx-sinx)=(1/2)(secx)(sinx)(1-cosx)~(1/4)(secx)(sinx)x^2，
　　∴原式=lim(x→0)(1/4)(secx)(sinx)x^2/[(x^2)(1+3x-1)]=1/12。
　　供参考。

Answer 3

lim(x→0) √(1+tanx) - √(1+sinx) / x^2(e^3x -1)
=lim(x→0) [√(1+tanx) - √(1+sinx)] [√(1+tanx) + √(1+sinx)] / {[√(1+tanx) + √(1+sinx)] x^2(e^3x -1)}
=lim(x→0) (tanx - sinx) / {[√(1+tanx) + √(1+sinx)] x^2(e^3x -1)}
=(1/2)lim(x→0) (tanx - sinx) / [ x^2(e^3x -1)]
=(1/2)lim(x→0) (1/cosx -1) / [ x(e^3x -1)]
=(1/2)lim(x→0) [(1-cosx)/cosx] / [ x(e^3x -1)]
=(1/2)lim(x→0) (1-cosx) / [x(e^3x -1)]
=(1/2)lim(x→0) x(1-cosx) / [x^2(e^3x -1)]
=(1/4)lim(x→0) x/(e^3x -1)
=(1/12)lim(x→0) 3x/(e^3x -1)
=1/12

Answer 4

公式不清楚，请用括号括完整。