Question

已知函数f(x)=-4sin²x+4cosx+1-a,当∈【-π/4,2π/3】时，f(X)=0恒有解，求a的取值范围

答案是a大于等于-4小于等于5

Answer 1

f(x)=-4sin²x+4cosx+1-a
=-4(1-cos²x)+4cosx+1-a
=4cos²x+4cosx-(a+3)
当x∈【-π/4,2π/3】时，有-1/2<=cosx<=1,
f(X)=4cos²x+4cosx-(a+3)=0恒有解,
将此方程换元为f(t)=4t²+4t-(a+3)=0
对称轴为t=-1/2,据题意，有
△≥0且f(1)≥0
16a+64≥0且5-a≥0
解得-4≤a≤5

Answer 2

f(x)=-4sin²x+4cosx+1-a=4cos²x+4cosx+1-4-a=(2cosx+1)²-4-a=0
cosx=±1/2√(4+a)-1/2
∵x∈[-π/4,2π/3]
∴cosx∈[-1/2,1]
即：1/2√(4+a)-1/2≤1，-1/2√(4+a)-1/2≥-1/2，且4+a≥0
联立解得：-4≤a≤5