Question

已知各项均为正数的数列[an]满足2an+1^2+3an+1an-2an^2=0,且a3+1/32是a2,a4的等差中项，数列[bn]的前n项和

sn=n^2.求数列[an]与[bn]的通项公式

Answer 1

解：
2a(n+1)²+3a(n+1)an-2an²=0
[a(n+1)+2an][2a(n+1)-an]=0
数列各项均为正，a(n+1)+2an>0，要等式成立，只有2a(n+1)-an=0
a(n+1)/an=1/2，为定值。
a3=a2/2 a4=a2/4
a3+1/32是a2、a4的等差中项
2(a3+1/32)=a2+a4
2(a2/2+1/32)=a2+a2/4
解得a2=1/4
a1=a2/(1/2)=1/2
数列{an}是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
数列{an}的通项公式为an=1/2^n
b1=S1=1²=1
Sn=n²
S(n-1)=(n-1)²
bn=Sn-Sn-1=n²-(n-1)²=2n-1
n=1时，b1=2-1=1，同样满足。
数列{bn}的通项公式为bn=2n-1

追问

Tn=1/b1b2+1/b2b3+..........+1/bnbn+1，求证Tn<1/2谢谢你