Question

如图,等边△ABC中,AO是∠BAC的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在

等边三角形ABC中，AO是角BAC的角平分线，D为AO 上一点，以CD为一边且在CD的下方作等边三角行CDE，连接BE，延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长

Answer 1

PQ=6
解：过C点向线段BQ做垂线交于BQ于F点
因为△ABC和△CDE是等边三角形，
所以∠ACD=∠BCE且AC=BC，CD=CE
所以△ADC≌△BEC
所以△AOC≌△BFC
所以CF=OC=4,
因为CP=CQ=5，所以PF=FQ=3
所以PQ=6

Answer 2

：（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）过点C作CH⊥BQ于H，
∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，
∴∠DAC=30°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠QBC=∠DAC=30°，
∴CH= BC= ×8=4，
∵PC=CQ=5，CH=4，
∴PH=QH=3，
∴PQ=6．

Answer 3

过C点向线段BQ做垂线交于BQ于F点 因为△ABC和△CDE是等边三角形，
所以∠ACD=∠BCE且AC=BC，CD=CE
所以△ADC≌△BEC
所以△AOC≌△BFC
所以CF=OC=4,
因为CP=CQ=5，所以PF=FQ=3
所以PQ=6