Question

如图，等边△ABC中AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在AD下方

28、如图，等边△ABC中AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在AD下方作等边△CDE，连BE
（1）求证：AD=BE
（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连结CP，CQ使CP=CQ，若AB=8，PE=3，∠CBP=2∠BCP.求EQ的长

Answer 1

（1）证明：因为△ABC和△CDE都是等边三角形，所以AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，则∠ACB-∠DCO=∠DCE-∠DCO，即∠DCA=∠BCE。所以△ACD≌△BCE，故AD=BE。
（2）由△ACD≌△BCE，推出∠DAC=∠CBP=1/2∠BAC=1/2×60°=30°。
由∠CBP=2∠BCP，推出∠BCP=1/2×30°=15°，∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-30°-15°=135°
在△BCP中，由正弦定理得出CP/sin30°=BC/sin135°=8/(√2/2)=8√2。推出CP=8√2×sin30°=4√2=CQ。
且∠CPQ=∠CBP+∠BCP=30°+15°=45°。
因为CP=CQ，所以△CPQ为等腰三角形，∠Q=∠CPQ=45°，故∠PCQ=180°-∠Q-∠CPQ=90°，即△CPQ为等腰直角三角形。因此，PQ=√2CP=√2×4√2=8，EQ=PQ-PE=8-3=5。

Answer 2

1)∵△ABC，△CDE是等边三角形，∴DC=CE，AB=BC，∠DCE=∠ACB=60°
即∠BCE+∠BCD=∠BCD+∠DCA
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE
2）在AD上截取DF=PE=3，联结CF
易证△CFD≌△CPE
∴∠PCE=∠FCD
∵∠ACD=∠BCE
所以∠BCP=∠ACF
∵∠DAC=1/2∠BAC，
∴∠BCP=15°（中间跳步过于简单，自己想，就不打出来了）
∴∠CPE=45°
由余弦定理，（已知∠CBP=30°，∠BCP=15°，BC=8）
（方程：64+BP^2-2×8×BP×cos30=CP^2
64+CP^2-2×8×CP×cos15=BP^2）
CP=（自己拿卡西欧计算吧）（cos15=(√6+√2)/4）
算了，2B了一下。。。

追问

卡西欧。。？

追答

我承认我想多了