Question

已知二次函数y=ax的平方+bx+c的图像与x轴交于点(-2,0)（x1，0） 且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（

已知二次函数y=ax的平方+bx+c的图像与x轴交于点(-2,0)（x1，0） 且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：
1.4a-2b+c=0 2.a＜b＜0 3.2a+c＞0 4.2a-b+1＞0 其中正确结论的个数是

Answer 1

因为y=ax^2+bx+c与x轴交于点(-2,0)
所以0=4a-2b+c，则选项1正确
其他三个选项可以通过取特殊值带入
比如因为1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0,2）的下方
所以设二次函数图像与x轴交于(-2,0)（3/2,0），与y轴的正半轴交于（0,1）
把（0,1）带入解析式可求得c=1
所以y=ax^2+bx+1
再把(-2,0)（3/2,0）带入上式可求得a=-1/3 ,b=-1/6
-1/3＜-1/6＜0 ，所以选项2正确
2a+c=1/3>0 ，所以选项3正确
2a-b+1=1/2>0，所以选项4正确
综上所述，正确结论的个数是4个。

Answer 2

先根据图象与x轴的交点及与y轴的交点情况画出草图，再由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
∵图象与x轴交于点（-2，0），（x1，0），与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方
∴a＜0，c＞0，
又∵图象与x轴交于点（-2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，
∴对称轴在y轴左侧，对称轴为x=$-\frac{b}{2a}$＜0，
∴b＜0，
∵图象与x轴交于点（-2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，
∴对称轴x=$-\frac{b}{2a}$＜0，且x=$-\frac{b}{2a}$＞-2，
∴b＞4a，
∴a＜b＜0，
由图象可知：当x=-2时y=0，
∴4a-2b+c=0，
整理得4a+c=2b，
又∵b＜0，
∴4a+c＜0．
∵当x=-2时，y=4a-2b+c=0，
∴2a-b+$\frac{c}{2}$=0，
而与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，
∴0＜$\frac{c}{2}$＜1，
∴2a-b+1＞0，
∵0=4a-2b+c，
∴2b=4a+c＜0
而x=1时，a+b+c＞0，
∴6a+3c＞0，
即2a+c＞0，
∴正确的有①②③④．
故填空答案：①②③④．

Answer 3

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