Question

如图，已知Rt△ABC和等腰Rt△CDE，AC=BC,CD=CE,M、N分别为AE、BD的中点，连接CM、CN。

（1）判断CM与CN的位置关系和数量关系；
（2）若△CDE绕C转任意角度，其他条件不变，则（1）的结论是否仍成立。试证明。
第一问已经写了。

Answer 1

（1）CN与CM的数量关系是：相等。
位置关系是：互相垂直。
证明：因为 角ACB=角DCE=直角，
所以 角ACB--角ECB=角DCE--角ECB,
即： 角ACE=角BCD,
因为 AC=BC,CD=CE,
所以 三角形ACE全等于三角形BCD,
所以 AE=BD, 角EAC=角DBC
因为 M,N分别是AE,BD的中点，
所以 AM=BN,
又因为 AC=BC,
所以 三角形AMC全等于三角形BNC,
所以 CM=CN. 角ACM=角BCN
又 因为 角ACB是直角，
所以 角MCN也是直角，
所以 CM与CN互相垂直。
（2）若三角形CDE绕C转任意角度，则（1)的结论仍成立。
证明：第一问已写了。

Answer 2

不知你知不知道，长方形的对角线平分且相等。因为N为BD中点，BC垂直CD。
所以可以把三角形BCD看做长方形的一部分。
BD为对角线CN也为对角线，只不过CN是对角线的一半，N为对角线的交点，
所以CN=ND=NB=1/2BD