Question

数学导数

已知函数f（x）=（x^2-x-1/a）e^(ax)（a＞0）
（1）若不等式f（x）+5/a≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围

Answer 1

f(x)=(x²-x-1/a) e^(ax)
f '(x)=(2x-1) e^(ax)+a(x²-x-1/a) e^(ax)
=e^(ax) (2x-1+ax²-ax-1)
=[ax²+(2-a)x-2] e^(ax) //: 有两个极值点： x1=1 x2=-2/a
f''(x)=[2ax+(2-a)] e^(ax)+[ax²+(2-a)x-2] a e^(ax)
=e^(ax) [2ax+2-a+a^2x^2+(2-a)a-2a]
=e^(ax) (a^2x^2+2ax+2-a-a^2)=g(x)e^(ax)
g(x)=a^2x^2+2ax+2-a-a^2
g(x1)=g(1)=a^2+2a+2-a-a^2=a+2 > 0 //: 对应f(x)的极小值：f(1)=-1/a e^(a)
g(x2)=g(-2/a)=a^2(4/a^2)-4+2-a-a^2=2-a-a^2 = (1-a)(a+2)
//: 对应f(x)的极大值：f(x2)=(4/a^2+1/a) e^(-2)>0
只要极小值-1/a e^(a)+5/a ≥ 0，那么 f(x)+5/a ≥ 0，
即： 5/a ≥ 1/a e^(a)
0 < a ≤ ln 5 ≈ 1.6094

Answer 2

很难，估计不是高人答不出